Persamaan Diferensial Eksak

Perhatikan persamaan
f(x,y) =  C f (x, y) = C
Mengambil gradien kita
f _x (x,y)i + f _y (x,y)j  =  0 f _x (x, y) i + f _y (x, y) j = 0
Kita dapat menulis persamaan ini dalam bentuk diferensial
f _x (x,y)dx+ f _y (x,y)dy  =  0 f _x (x, y) dx + f _y (x, y) dy = 0
Sekarang bagi dengan dx (kita tidak berpura-pura menjadi ketat di sini) untuk mendapatkan
f _x (x,y)+ f _y (x,y) dy/dx  =  0 f _x (x, y) + f _y (x, y) dy / dx = 0
Yang merupakan persamaan diferensial orde pertama. Tujuan dari bagian ini adalah untuk pergi ke belakang. Itu jika persamaan diferensial jika bentuk di atas, kita mencari asli fungsi f (x, y) (disebut sebagai potensi fungsi). Persamaan diferensial dengan fungsi potensial disebut tepat . Jika Anda telah vektor kalkulus, ini adalah sama dengan menemukan potensi fungsi dan menggunakan teorema dasar integral garis.
Contoh
Memecahkan
4xy + 1 + (2x ² + cos y)y’  =  0 4xy + 1 + (2x ² + cos y) y ‘= 0
Solusi
Kami mencari fungsi f (x, y) dengan
f _x (x, y) = 4xy + 1 dan f _y (x, y) = 2x ² + cos y
Mengintegrasikan persamaan pertama terhadap x untuk mendapatkan
f (x, y) = 2x ² y + x + C (y) Perhatikan karena y diperlakukan sebagai konstan,. kita menulis C (y).
Sekarang ambil turunan parsial terhadap y untuk mendapatkan
f _y (x,y) =  2x ² + C’(y) f _y (x, y) = 2x ² + C ‘(y)
Kami memiliki dua rumus untuk f _y (x, y) sehingga kami dapat mengatur mereka sama dengan eachother.
2x ² + cos y  =  2x ² + C’(y) 2x ² + cos y = 2x ² + C ‘(y)
Itu
C’(y) =  cos y C ‘(y) = cos y
atau
C(y) =  sin y C (y) = sin y
Dengan demikian
f(x,y)  =  2x ² y + x + sin y f (x, y) = 2x ² y + x + sin y
Solusi terhadap persamaan diferensial
2x ² y + x + sin y  =  C 2x y + ² x + sin y = C

---

Apakah metode ini selalu bekerja? Jawabannya adalah tidak. Kita dapat mengetahui apakah metode bekerja dengan mengingat bahwa untuk fungsi dengan turunan parsial yang kontinu, campuran urutan parsial adalah independen. Itu f _xy =  f _yx f _xy = f _yx
Jika kita mempunyai persamaan diferensial
M(x,y) + N(x,y)y’  =  0 F (x, y) + N (x, y) y ‘= 0
maka kita mengatakan itu adalah persamaan diferensial yang tepat jika
M _y (x,y) =  N _x (x,y) M _y (x, y) = N _x (x, y)