Rabu, 09 Maret 2011

Persamaan Diferensial Eksak



Perhatikan persamaan
f(x,y) =  C f (x, y) = C
Mengambil gradien kita
f x (x,y)i + f y (x,y)j  =  0 f x (x, y) i + f y (x, y) j = 0
Kita dapat menulis persamaan ini dalam bentuk diferensial
f x (x,y)dx+ f y (x,y)dy  =  0 f x (x, y) dx + f y (x, y) dy = 0
Sekarang bagi dengan dx (kita tidak berpura-pura menjadi ketat di sini) untuk mendapatkan
f x (x,y)+ f y (x,y) dy/dx  =  0 f x (x, y) + f y (x, y) dy / dx = 0
Yang merupakan persamaan diferensial orde pertama. Tujuan dari bagian ini adalah untuk pergi ke belakang. Itu jika persamaan diferensial jika bentuk di atas, kita mencari asli fungsi f (x, y) (disebut sebagai potensi fungsi). Persamaan diferensial dengan fungsi potensial disebut tepat . Jika Anda telah vektor kalkulus, ini adalah sama dengan menemukan potensi fungsi dan menggunakan teorema dasar integral garis.
Contoh
Memecahkan
4xy + 1 + (2x 2 + cos y)y’  =  0 4xy + 1 + (2x 2 + cos y) y ‘= 0
Solusi
Kami mencari fungsi f (x, y) dengan
f x (x, y) = 4xy + 1 dan f y (x, y) = 2x 2 + cos y
Mengintegrasikan persamaan pertama terhadap x untuk mendapatkan
f (x, y) = 2x 2 y + x + C (y) Perhatikan karena y diperlakukan sebagai konstan,. kita menulis C (y).
Sekarang ambil turunan parsial terhadap y untuk mendapatkan
f y (x,y) =  2x 2 + C’(y) f y (x, y) = 2x 2 + C ‘(y)
Kami memiliki dua rumus untuk f y (x, y) sehingga kami dapat mengatur mereka sama dengan eachother.
2x 2 + cos y  =  2x 2 + C’(y) 2x 2 + cos y = 2x 2 + C ‘(y)
Itu
C’(y) =  cos y C ‘(y) = cos y
atau
C(y) =  sin y C (y) = sin y
Dengan demikian
f(x,y)  =  2x 2 y + x + sin y f (x, y) = 2x 2 y + x + sin y
Solusi terhadap persamaan diferensial
2x 2 y + x + sin y  =  C 2x y + 2 x + sin y = C

Apakah metode ini selalu bekerja? Jawabannya adalah tidak. Kita dapat mengetahui apakah metode bekerja dengan mengingat bahwa untuk fungsi dengan turunan parsial yang kontinu, campuran urutan parsial adalah independen. Itu f xy =  f yx f xy = f yx
Jika kita mempunyai persamaan diferensial
M(x,y) + N(x,y)y’  =  0 F (x, y) + N (x, y) y ‘= 0
maka kita mengatakan itu adalah persamaan diferensial yang tepat jika
M y (x,y) =  N x (x,y) M y (x, y) = N x (x, y)

Tidak ada komentar :

Posting Komentar

Loading...

Seputar Dunia Teknik Sipil

Goal.com News - Indonesia

mau download sofware terupdate dan gratis ? ne gw kasih dech :

Ada kesalahan di dalam gadget ini

Total Tayangan Laman