Persamaan Diferensial Eksak

Persamaan Diferensial Eksak

Perhatikan persamaan
f(x,y) =  C f (x, y) = C
Mengambil gradien kita
f _x (x,y)i + f _y (x,y)j  =  0 f _x (x, y) i + f _y (x, y) j = 0
Kita dapat menulis persamaan ini dalam bentuk diferensial
f _x (x,y)dx+ f _y (x,y)dy  =  0 f _x (x, y) dx + f _y (x, y) dy = 0
Sekarang bagi dengan dx (kita tidak berpura-pura menjadi ketat di sini) untuk mendapatkan
f _x (x,y)+ f _y (x,y) dy/dx  =  0 f _x (x, y) + f _y (x, y) dy / dx = 0
Yang merupakan persamaan diferensial orde pertama. Tujuan dari bagian ini adalah untuk pergi ke belakang. Itu jika persamaan diferensial jika bentuk di atas, kita mencari asli fungsi f (x, y) (disebut sebagai potensi fungsi). Persamaan diferensial dengan fungsi potensial disebut tepat . Jika Anda telah vektor kalkulus, ini adalah sama dengan menemukan potensi fungsi dan menggunakan teorema dasar integral garis.
Contoh
Memecahkan
4xy + 1 + (2x ² + cos y)y’  =  0 4xy + 1 + (2x ² + cos y) y ‘= 0
Solusi
Kami mencari fungsi f (x, y) dengan
f _x (x, y) = 4xy + 1 dan f _y (x, y) = 2x ² + cos y
Mengintegrasikan persamaan pertama terhadap x untuk mendapatkan
f (x, y) = 2x ² y + x + C (y) Perhatikan karena y diperlakukan sebagai konstan,. kita menulis C (y).
Sekarang ambil turunan parsial terhadap y untuk mendapatkan
f _y (x,y) =  2x ² + C’(y) f _y (x, y) = 2x ² + C ‘(y)
Kami memiliki dua rumus untuk f _y (x, y) sehingga kami dapat mengatur mereka sama dengan eachother.
2x ² + cos y  =  2x ² + C’(y) 2x ² + cos y = 2x ² + C ‘(y)
Itu
C’(y) =  cos y C ‘(y) = cos y
atau
C(y) =  sin y C (y) = sin y
Dengan demikian
f(x,y)  =  2x ² y + x + sin y f (x, y) = 2x ² y + x + sin y
Solusi terhadap persamaan diferensial
2x ² y + x + sin y  =  C 2x y + ² x + sin y = C

---

Apakah metode ini selalu bekerja? Jawabannya adalah tidak. Kita dapat mengetahui apakah metode bekerja dengan mengingat bahwa untuk fungsi dengan turunan parsial yang kontinu, campuran urutan parsial adalah independen. Itu f _xy =  f _yx f _xy = f _yx
Jika kita mempunyai persamaan diferensial
M(x,y) + N(x,y)y’  =  0 F (x, y) + N (x, y) y ‘= 0
maka kita mengatakan itu adalah persamaan diferensial yang tepat jika
M _y (x,y) =  N _x (x,y) M _y (x, y) = N _x (x, y)

Teorema: Solusi untuk Exact Persamaan diferensial Biarkan M, N, M y, dan N x akan terus-menerus dengan M y =  N x M y = N x Lalu ada sebuah fungsi f dengan f x = M dan f y = N sehingga f(x,y) =  C f (x, y) = C adalah solusi untuk persamaan diferensial M(x,y)  + N(x,y)y’  =  0 F (x, y) + N (x, y) y ‘= 0

Contoh
Menyelesaikan persamaan diferensial
y + (2xy – e ^-2y )y’ =  0 y + (2xy – ^e-2y) y ‘= 0
Solusi
Kami telah
F (x, y) = y dan N (x, y) = 2xy – ^e-2y
Sekarang menghitung
M _y = 1 dan N _x = 2y
Karena mereka tidak sama, menemukan potensi fungsi f adalah sia-sia. Namun demikian, ada secercah harapan jika kita ingat bagaimana kita memecahkan urutan pertama persamaan diferensial linear. Kami dikalikan kedua belah pihak oleh faktor mengintegrasikan m. Kita melakukannya di sini untuk mendapatkan
m M + m Ny’  =  0 m M + m Ny ‘= 0
Untuk ini tepatnya kita harus memiliki
( m M) _y =   ( m N) _x (M M) _y = (m N) _x
Menggunakan aturan produk memberikan
m _y M + m M _y = m _x N + m N _x m _y M + m M _y = m _x N + m N _x
Kami sekarang memiliki persamaan diferensial baru yang sayangnya lebih sulit daripada yang asli memecahkan persamaan diferensial. Kami menyederhanakan persamaan dengan mengasumsikan bahwa salah satu m adalah fungsi dari x atau hanya hanya y. Jika itu hanya fungsi dari x, maka m _y = 0 dan
m M _y = m _x N + m N _x m M _y = m _x N + m N _x
Pemecahan untuk m _x, kita
M _y – N _x M _y – N _x
m _x = m _x =
N N
Jika ini adalah fungsi dari y saja, maka kita akan dapat menemukan faktor integrasi yang melibatkan y saja.
Jika hanya fungsi dari y, maka m _x = 0 dan
m _y M + m M _y = m N _x m _y M + m M _y = m N _x
Pemecahan untuk m _y, kita
N _x – M _y N _x – M _y
m _y = m _y = m m
M M
Jika ini adalah fungsi dari y saja, maka kita akan dapat menemukan faktor integrasi yang melibatkan y saja.
Sebagai contoh
N _x – M _y 2y – 1 N _x – M _y 2y – 1
m _y = m _y = m = m = m =  (2 – 1/y) m m = (2 – 1 / y) m
M                         y M y
Memisahkan memberikan
d m / m =  (2 – 1/y) dy d m / m = (2 – 1 / y) dy
Mengintegrasikan memberikan
ln m =  2y  -  ln y Dalam m = 2y – y ln
m =  e ^{2y – ln y} =  y ^-1 e ^2y m = e ^{2y – ln y} = y ^-1 e ^2y
Mengalikan kedua sisi persamaan diferensial asli oleh m memberikan
y(y ^-1 e ^2y ) + (y ^-1 e ^2y )(2xy – e ^-2y )y’  =  0 y (y ^-1 e ^2y) + (y ^-1 e ^2y) (2xy – ^e-2y) y ‘= 0
e ^2y + (2xe ^2y – 1/y)y’  =  0 e ^2y + (2xe ^2y – 1 / y) y ‘= 0
Sekarang kita melihat bahwa
M _y =  2e ^2y = N _x M _y = 2e ^2y = N _x
Yang mengatakan kepada kita bahwa persamaan diferensial tepat. Oleh karena itu kita telah
f _x (x,y)  =  e ^2y f _x (x, y) = e ^2y
Mengintegrasikan terhadap x memberikan
f(x,y) =  xe ^2y + C(y) f (x, y) = xe ^2y + C (y)
Sekarang mengambil turunan parsial terhadap y memberikan
f _y (x,y) =  2xe ^2y + C ‘ (y)  = 2xe ^2y – 1/y f _y (x, y) = 2xe ^2y + C ‘(y) = 2xe ^2y – 1 / y
Sehingga
C’(y) =  1/y C ‘(y) = 1 / y
Mengintegrasikan memberikan
C(y) =  ln y C (y) = ln y
Solusi terakhir
xe ^2y + ln y  =  0 xe ^2y + ln y = 0